私・小梅太郎もFacebookページを作成していますが、時々、メッセージをいただきます。
そして、そのメッセージに返信したりするわけですが、Facebookページアカウントでメッセージを送る場合、個人アカウントでのメッセージ機能とは、ちょっと扱いが違うようですね。
Facebookページのアカウントからメッセージを送るには
何が違うって、結論から言うと、Facebookページのアカウントからは“先にメッセージを送ることができない”んですね。
つまり、例えばページに「いいね！」をしてくれている誰かにメッセージを送ろうとしても、いきなりこちらからは送れないということ。
では、どういう時にメッセージを送れるのかというと、Facebookページにメッセージをくれた人に対しては、Facebookページのアカウントでメッセージを送れるんですね（つまり返信ということですね）。
なので、先に書いた“先にメッセージを送ることができない”ということなんです（もちろん、ページでメッセージ機能を有効にしていることが前提ですね）。
Facebookのヘルプセンターに次のような記事がありました。
モデレータ、編集者、管理者であれば、ページにメッセージをくれた人にページからプライベートメッセージを送信できます。プライベートメッセージでページの投稿に対するコメントに返信することもできます。
注: ページでは、他のページにメッセージを送信することはできません。
Facebookページから直接メッセージを送ることができる相手は誰ですか。 | Facebookヘルプセンター
ということなんです。
たまに、こちらから先にメッセージを送りたい時があるんですが、現状はできないということなんですね。
（メッセージ画面には、上部の[メッセージ]をクリックすると）
（メッセージ画面に）
できれば、「いいね！」してくれた方なら、誰にでもメッセージを送れるといいんですけどね（時々、そういう時があるんですよね）。
上記の引用文の中にあるように、ページの投稿に対するコメントに、メッセージとして返信することもできるようですが、まだしたことはありません。
ということで、Facebookページのアカウントからメッセージを送ることができるのは、どういう時かについてでした。
※参考
・Facebookページ初心者が知っておくべきメッセージ機能の特徴・設定・使い方Rex（レッキス）-ソーシャルメディア情報サイト- | Rex（レッキス）-ソーシャルメディア情報サイト-
・Facebookページにプライベートなメッセージを送るにはどうすればよいですか。 | Facebookヘルプセンター